Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Definicja: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Układem równań liniowych z dwiema (tymi samymi) niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Układ taki przyjmuje postać: a 1 x + y 1. gdzie: – niewiadome, a, , b – współczynniki ^{- At you can join numerous contests with valuable prizes! - Joining the website also provides access to the Mathematics Knowledge Base – the database will be regularly expanded, and its content is under the guidance of mathematicians. - You can add your own math-related content. Once checked by the teachers, other website users will use them. - By adding your content on our website you have access to the equation editor! To join a contest, you must log in to your account at the website. Then open the "Contests" tab in the menu at the top of the site. This will open a list of contests. Clicking "View" will open the details of a selected contest. A description, prizes available to win, and contest entry topics are available there. Here you can select and book a topic for which you want to prepare a contest entry.} prostą - czyli, w tym przypadku układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli natomiast m = −1, to układ nasz przybiera postać: (−x+y = 1 3x−3y = 3 Wystarczy teraz pierwsze z równań pomnożyć przez −1 a drugie podzielić przez 3 (dążymy do zrównania współczynnika przy x), aby otrzymać: (x−y = −1 x−y = 1 BlackBomb Użytkownik Posty: 33 Rejestracja: 18 mar 2009, o 17:06 Płeć: Mężczyzna Podziękował: 22 razy Układ równań nieoznaczony Mam pytanie, jeśli wyznacznik główny wychodzi mi 0, a pozostałe wyznaczniki wychodzą mi 0 to mam do czynienia z układem który ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeżeli polecenie każe znaleźć rozwiązanie układu to mam szukać jakiegoś przykładowego rozwiązania czy "nieskończenie wiele" wystarcza jako odpowiedź? bartek118 Użytkownik Posty: 5974 Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Toruń Podziękował: 15 razy Pomógł: 1251 razy Układ równań nieoznaczony Post autor: bartek118 » 2 lip 2014, o 13:19 Który ma wiele rozwiązań (nie musi mieć nieskończenie wiele). Ani to, ani to. Wówczas musisz znaleźć i opisać wszystkie rozwiązania układu. Hydra147 Użytkownik Posty: 268 Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Polska Podziękował: 1 raz Pomógł: 82 razy Układ równań nieoznaczony Post autor: Hydra147 » 2 lip 2014, o 13:22 Zapewne masz znaleźć WSZYSTKIE jego rozwiązania. Np. mając dany układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} y=x+1 \\2x=2y-2 \end{cases}}\) musisz napisać, że jego rozwiązaniem są wszystkie pary \(\displaystyle{ (x,y)}\) takie, że: \(\displaystyle{ \begin{cases} x= \alpha \\ y= \alpha +1 \end{cases}}\) dla \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\). BlackBomb Użytkownik Posty: 33 Rejestracja: 18 mar 2009, o 17:06 Płeć: Mężczyzna Podziękował: 22 razy Układ równań nieoznaczony Post autor: BlackBomb » 2 lip 2014, o 14:02 Rozumiem, czyli w przypadku takiego układu: \(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+2z=0 \\ -x+2y-z=1 \\ x+y+4z=2 \end{cases}}\) Mam zapisać: \(\displaystyle{ \begin{cases} x= -\alpha \\ y= -5\alpha +2 \\ z= -4\alpha \end{cases}}\) albo nie, chyba nie do końca rozumiem jak wykonać polecenie dla 3 niewiadomych. a4karo Użytkownik Posty: 20397 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3454 razy Układ równań nieoznaczony Post autor: a4karo » 2 lip 2014, o 14:09 bartek118 pisze:Który ma wiele rozwiązań (nie musi mieć nieskończenie wiele). Ani to, ani to. Wówczas musisz znaleźć i opisać wszystkie rozwiązania układu. Dla ścisłości: ukłąd równań który ma więcej niż jedno rozwiązanie, ma ich nieskończenie 2 lip 2014, o 13:14 --BlackBomb pisze:Rozumiem, czyli w przypadku takiego układu: \(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+2z=0 \\ -x+2y-z=1 \\ x+y+4z=2 \end{cases}}\) Mam zapisać: \(\displaystyle{ \begin{cases} x= -\alpha \\ y= -5\alpha +2 \\ z= -4\alpha \end{cases}}\) albo nie, chyba nie do końca rozumiem jak wykonać polecenie dla 3 niewiadomych. To, co napisałeś nie jest rozwiązaniem podanego układu (wstaw rozwiązanie do pierwszego równania). Dodaj drugie równanie do pierwszego i trzeciego, a przekonasz się, że będą one takie same. Zatem de facto masz dwa równania z trzema niewiadomymi. Przyjmij jedna z nich za parametr i rozwiąż ze względu na pozostałe dwie zmienne. Hydra147 Użytkownik Posty: 268 Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Polska Podziękował: 1 raz Pomógł: 82 razy Układ równań nieoznaczony Post autor: Hydra147 » 2 lip 2014, o 14:58 a4karo pisze:Dla ścisłości: ukłąd równań który ma więcej niż jedno rozwiązanie, ma ich nieskończenie wiele. Dla ścisłości: układ równań liniowych . Np. układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} x^2=9 \\ y^2=4 \end{cases}}\) Ma dokładnie 4 rozwiązania: \(\displaystyle{ (x,y)=(3,2),(3,-2),(-3,2),(-3,-2)}\). bartek118 Użytkownik Posty: 5974 Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Toruń Podziękował: 15 razy Pomógł: 1251 razy Układ równań nieoznaczony Post autor: bartek118 » 2 lip 2014, o 15:19 a4karo pisze:Dla ścisłości: ukłąd równań który ma więcej niż jedno rozwiązanie, ma ich nieskończenie wiele. Dla ścisłości - nie jest to prawda nawet dla układów liniowych. Michalinho Użytkownik Posty: 495 Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Chełm Podziękował: 11 razy Pomógł: 104 razy Układ równań nieoznaczony Post autor: Michalinho » 2 lip 2014, o 17:26 bartek118 pisze:Dla ścisłości - nie jest to prawda nawet dla układów liniowych. Dla ścisłości: chyba jednak tak. Interpretacją geometryczną rozwiązania układu równań jest punkt wspólny wykresów wszystkich równań w tym układzie, a skoro do każdej prostej na wykresie należą co najmniej dwa te same punkty to opisują one tą samą prostą więc mamy nieskończenie wiele rozwiązań. Proszę o kontrprzykład. a4karo Użytkownik Posty: 20397 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3454 razy Układ równań nieoznaczony Post autor: a4karo » 2 lip 2014, o 17:53 bartek118 pisze:a4karo pisze:Dla ścisłości: ukłąd równań który ma więcej niż jedno rozwiązanie, ma ich nieskończenie wiele. Dla ścisłości - nie jest to prawda nawet dla układów liniowych. Udowodnij sobie taie (nietrudne ) twierdzenie: Jeżeli \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) sa rozwiązaniami układu równań liniowych \(\displaystyle{ Ax=b}\), to \(\displaystyle{ tx_1+(1-t)x_2}\) też jest rozwiązaniem dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ t}\) -- 2 lip 2014, o 16:54 --Hydra147 pisze:a4karo pisze:Dla ścisłości: ukłąd równań który ma więcej niż jedno rozwiązanie, ma ich nieskończenie wiele. Dla ścisłości: układ równań liniowych . Np. układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} x^2=9 \\ y^2=4 \end{cases}}\) Ma dokładnie 4 rozwiązania: \(\displaystyle{ (x,y)=(3,2),(3,-2),(-3,2),(-3,-2)}\). @Hydra Dla ścisłości: przeczytaj pierwszy post i powiedz jaki jest wyznacznik główny Twojego układu -- 2 lip 2014, o 17:01 --BlackBomb pisze:Mam pytanie, jeśli wyznacznik główny wychodzi mi 0, a pozostałe wyznaczniki wychodzą mi 0 to mam do czynienia z układem który ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeżeli polecenie każe znaleźć rozwiązanie układu to mam szukać jakiegoś przykładowego rozwiązania czy "nieskończenie wiele" wystarcza jako odpowiedź? Rozumem, że mówisz o układzie n równań z n niewiadomymi. a "pozostałe wyznaczniki" to minory \(\displaystyle{ n\times n}\) z macierzy rozszerzonej. Twoje stwierdzenie jeśli wyznacznik główny wychodzi mi 0, a pozostałe wyznaczniki wychodzą mi 0 to mam do czynienia z układem który ma nieskończenie wiele rozwiązań nie jest prawdziwe. Układ \(\displaystyle{ \begin{cases} 0x+0y+0z=1\\ 0x+0y+0z=1\\ 0x+0y+0z=0 \end{cases}}\) spełnia warunki, a jest oczywiście sprzeczny. BlackBomb Użytkownik Posty: 33 Rejestracja: 18 mar 2009, o 17:06 Płeć: Mężczyzna Podziękował: 22 razy Układ równań nieoznaczony Post autor: BlackBomb » 2 lip 2014, o 20:17 To nie wiem, brałem to stąd ... Przykładowe rozwiązanie to np: \(\displaystyle{ \begin{cases} x= 0 \\ y= \frac{2}{3} \\ z= \frac{1}{3} \end{cases}}\) Nie wiem w jaki sposób mam przyjąć jedną daną za parametr i to rozwiązać. Przyjąć z tego co rozumiem mogę, że x jest moim parametrem, więc z tych dwóch: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=2-y-4z \\ x=-1+2y-z \end{cases}}\) Chyba nie do końca rozumiem jak to wykazać, czy ktoś ma jakieś podobne zadanie na którym mógłbym zobaczyć o co chodzi? a4karo Użytkownik Posty: 20397 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3454 razy Układ równań nieoznaczony Post autor: a4karo » 2 lip 2014, o 20:40 Wróćmy do Twojego przykłądu: \(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+2z=0 \\ -x+2y-z=1 \\ x+y+4z=2 \end{cases}}\) Rząd macierzy głównej i rozszerzonej sa równe 2 (wszystkie wyznaczniki 3x3 znikaja). Weżmy pierwsze i trzecie rónanie i potraktujmy \(\displaystyle{ z=\alpha}\) jako parametr. Wtedy \(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=-2\alpha \\ x+y=2-4\alpha \end{cases}}\) Rozwiąż ten układ ze względu na \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) (wynik będzie zależał od \(\displaystyle{ \alpha}\)) bartek118 Użytkownik Posty: 5974 Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Toruń Podziękował: 15 razy Pomógł: 1251 razy Układ równań nieoznaczony Post autor: bartek118 » 2 lip 2014, o 21:37 a4karo pisze:bartek118 pisze:a4karo pisze:Dla ścisłości: ukłąd równań który ma więcej niż jedno rozwiązanie, ma ich nieskończenie wiele. Dla ścisłości - nie jest to prawda nawet dla układów liniowych. Udowodnij sobie taie (nietrudne ) twierdzenie: Jeżeli \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) sa rozwiązaniami układu równań liniowych \(\displaystyle{ Ax=b}\), to \(\displaystyle{ tx_1+(1-t)x_2}\) też jest rozwiązaniem dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ t}\) A to niby czemu ma być nieskończenie wiele tych \(\displaystyle{ t}\)? Czemu niby mają być rzeczywiste? Banalny przykład: \(\displaystyle{ \begin{cases} x-y = 0 \\ x+y=0 \end{cases}}\) jako układ nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{F}_2}\). Ma on dokładnie dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ (x_1, y_1) = (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (x_2, y_2) = (1,1)}\). Ponadto wyznacznik układu jest zerowy, a jednak ma tylko skończenie wiele rozwiązań. BlackBomb Użytkownik Posty: 33 Rejestracja: 18 mar 2009, o 17:06 Płeć: Mężczyzna Podziękował: 22 razy Układ równań nieoznaczony Post autor: BlackBomb » 2 lip 2014, o 21:37 Czy poprawna odpowiedź w takim razie to: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=-3 \alpha +1 \\ y=1- \alpha \end{cases}}\) a4karo Użytkownik Posty: 20397 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3454 razy Układ równań nieoznaczony Post autor: a4karo » 2 lip 2014, o 22:22 BlackBomb pisze:Czy poprawna odpowiedź w takim razie to: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=-3 \alpha +1 \\ y=1- \alpha \end{cases}}\) Nie, raczej taka: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=-3 \alpha +1 \\ y=1- \alpha \\ z=\alpha \end{cases}}\) -- 2 lip 2014, o 21:27 --bartek118 pisze: A to niby czemu ma być nieskończenie wiele tych \(\displaystyle{ t}\)? Czemu niby mają być rzeczywiste? Banalny przykład: \(\displaystyle{ \begin{cases} x-y = 0 \\ x+y=0 \end{cases}}\) jako układ nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{F}_2}\). Ma on dokładnie dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ (x_1, y_1) = (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (x_2, y_2) = (1,1)}\). Ponadto wyznacznik układu jest zerowy, a jednak ma tylko skończenie wiele rozwiązań. Tak, racja. Ewidentnie któryś z nas zgubił kontekst . Michalinho Użytkownik Posty: 495 Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Chełm Podziękował: 11 razy Pomógł: 104 razy Układ równań nieoznaczony Post autor: Michalinho » 2 lip 2014, o 23:06 Nie orientuje się czym jest ciało \(\displaystyle{ \mathbb{F}_2}\), ale z tego co wiem to \(\displaystyle{ 1+1 \neq 0}\). W sytuacji, w której nie miałbym w tym racji to i tak w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to nie jest spełnione.

Krok 2. Ustalenie dla jakiego parametru \(m\) równania mają nieskończenie wiele rozwiązań. Aby nasz układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań, to pierwsze i drugie równanie muszą być identyczne. Porównując do siebie te dwa równania widzimy, że aby tak się stało to liczby stojące przy igreku muszą być sobie równe.

Rozwiązaniem układu równań liniowych są współrzędne punktów należących jednocześnie do obu prostych. a) Oba równania układu opisują tę samą prostą (proste pokrywają się), czyli jest to układ nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań). Rysujemy prostą patrz załącznik

Układ równań {2x+3y=5 {-4x= -5+6y a)ma jedno rozwiązanie b)nie ma rozwiązań c)ma dwa rozwiązania d)ma nieskończenie wiele rozwiązań

Rozwiązanie zadania z matematyki: Układ równań 3y-6x=-62x+ay=2ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli{A) a=-1}{B) a=1}{C) a=3}{D) a=6}, Z parametrem, 9704022

Takie równanie które ma nieskończenie wiele rozwiązań nazywamy nieoznaczonym. Możesz się też spotkać ze zwrotem tożsamościowe. Pokażę Ci teraz w jaki sposób możemy stwierdzić że równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Spróbujmy rozwiązać to równanie. Mamy tutaj nawias więc w pierwszym kroku się go pozbędę.

Dany jest układ równań 2 x + y =-3 a x + b y = 6 z niewiadomymi x i y. Zaznacz wszystkie zdania mówiące o tym, co się wówczas dzieje. Możliwe odpowiedzi: 1. Dla a = 1 i b = 1 układ ma jedno rozwiązanie., 2. Dla a = 1 i b = 2 układ nie ma rozwiązań. , 3. Dla a = 2 i b = 1 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań., 4

rozwiązanie. Układ równań {2x-3y=5; -4x+6y=-10; A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma nieskończenie wiele rozwiązań. Układ równań oznaczony, sprzeczny i nieoznaczony . W tym zadaniu musisz określić ile rozwiązań ma układ równań [shortcode 2096900]A. ma jedno rozwiązanieB. ma dwa rozwiązaniaC. nie ma rozwiązańD. ma nieskończenie wiele rozwiązań

Dany jest układ równań: Prawdziwe jest zdanie: A) jednym z rozwiązań układu jest para liczb B) układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań C) układ równań nie ma rozwiązań

A x = C - B y. x = C - B y A. Podstawiając otrzymany wynik za x do drugiego równania, dostaniemy: C D - B D y A + E y = F | · A. C D - B D y + A E y = A F. Dochodzimy finalnie do prostego równania z niewiadomą y: A E - B D y = A F - C D. Analogiczne równanie możemy otrzymać dla niewiadomej x: A E - B D x = C E - B F.

Układ równań 3x-4y=6 8y-6x=-12 A.nie ma rozwiązania B.ma rozwiązanie będące para liczb naturalnych C.ma nieskończenie wiele rozwiązań

Możliwe liczby rozwiązań w układzie jednorodnym. Skoro tak, to w układzie równań jednorodnych zachodzić będą tylko sytuacje 1 lub 2. Układ zawsze będzie miał rozwiązania, pytanie tylko czy będzie to 1 rozwiązanie, czy nieskończenie wiele rozwiązań. Idźmy dalej. Zdefiniujmy sobie coś takiego, jak “rozwiązanie zerowe”. .